ცნობილ ბერძენ ფილოსოფოსსა და მათემატიკოს პითაგორა სამოსელს (ჩვ.წ–მდე 570– დაახლ.500წწ) ეკუთვნის ცნობილი გამონათქვამი: ,,ჩემი მეგობარია ის , ვინც არის ჩემი მეორე მე, როგორც რიცხვები 220 და 284''.
პითაგორა ამ რიცხვებს შემდეგი თვისებით აფასებდა: პირველი რიცხვის გამყოფების ჯამი უდრის ნეორე რიცხვის და პირიქით. ასეთ რიცხვებს მეგობრული რიცხვები ეწოდება.
284= 1+2+4+5+10+11+20+22+40+44+55+110
220=1+2+4+71+142
არაბმა მათემატიკოსმა იბნ კურამ(826–901), შეიმუშავა წესი მეგობრული რიცხვების წყვილის პოვნის , მაგრამ იგი დიდხანს უცნობი იყო სხვებისთვის. შემდეგ იბნ ალ–ბანიმ (1256–1321)აღმოაჩინა ახალი წყვილი :17296 და 18416. 1636 წ ხელახლა აღმოაჩინა პიერ ფერმა ახალი წყვილი. 1963 წ ფრანგმა მათემატიკოსმა და ფილოსოფოსმა რენე დეკარტმა იპოვა ახალი წყვილი : 9 363 584 და 9 437 056 დეკარტის შემდეგ ახალი შედეგი მიიღო ლეონარდ ეილერმა.
რაც შეეხება ეილერს მან აღმოაჩინა 39 წყვილი, რომელთა შორის პირველად აღმოჩნდა კენტი მეგობრული რიცხვების წყვილი. 3*3*7*13*101 და 3*3*3*3*5*11*2699.
დღეისთვის ნაპოვნია მეგობრული რიცხვების 1100 წყვილი და გამოკვლევები უკვე ელექტრონული გამომთვლელი მანქანების მეშვეობით გრძელდება.
ძველი ბერძენი მათემატიკოსები სრულყოფილ რიცხვებს უწოდებდნენ, რიცხვებს, რომლებიც ტოლია ყველა საკუთარი გამოყოფის ჯამის .
6–ის გამყოფებია 1,2,3,6 უდნა შევკრიბოთ 6–ზე ნაკლები ყველა გამყოფი 1+2+3=6
28=1+2+4+7+14.
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248.
სრულყოფილი რიცხვები მათემატიკოსებისათვის დღემდე გამოცანად რჩება. ყველა ცნობილი სრულყოფილი რიცხვი ლუწია. არსებობს თუ არა ასეთი კენტი რიცხვი , ცნობილი არ არის . ასევე უცნობია სასრულია თუ უსასრულო მათი რაოდენობა. ლუწი სრულყოფილი რიცხვების ძიებამ, მეცნიერები მიიყვანა მარტივი რიცხვის ძიების ამოცანამდე. ამ საკითხზე მუშაობდა ფრანგი ფიზიკოსი მერსენი(1588–1648)
ახალი სრულყოფილი რიცხვების ძიება უკვე ელექტრონული გამომთვლელი მანქანების მეშვეობით გრძელდება. ნაპოვნია 30–მდე ასეთი რიცხვი, რომელთაგან უდიდესის, და დღეისათვის ცნობილი უდიდესი სრულყოფილი რიცხვის ჩანაწერი ასი ათასზე(!)მეტი ციფრისაგან შედგება.
ნაშრომი მოიძია: მახვილაძე მარიამმა.
Wednesday, April 28, 2010
Tuesday, April 27, 2010
არითმეტიკის ძირითადი კანონი
რიცხვი 900900 მარტივ მამრავლებად რომ დავშალოთ, გვექნება:
900900=2*2*3*3*5*5*7*11*13. ამ რიცხვის მარტივ მამარავლებად სხვა დაშლა არ არსებობს.
საზოგადოდ ,ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი შეიძლება ჩავწეროთ მარტივი რიცხვების ნამრავლის სახით. ამასთან ეს წარმოდგენა ერთადერთია. ამ დებულებას , მისი განსაკუთრებული მნიშვნელობის გამო. არითმეტიკის ძირითადი კანონი ეწოდება.
ჯერ კიდევ დიდი ხნის წინათ ცნობილი იყო , რომ მარტიხი რიცხვების რაოდენობა უსასრულოა, ძველმა ბერძენმა მათემატიკოსმა ევკლიდემ(ჩვ.წ–მდე III)ს. თავის ,,საწყისებში დაამტკიცა ,რომ არ არსებობს უდიდესი მარტივი რიცხვი. მას შემდეგ მრავალი მეცნიერი იკვლევდა ამ რიცხვებებს, მაგრამ მათ შესახებ ბევრი რამ დღესაც არ არის ცნობილი.
მარტივი რიცხვები ისე უცნაურადაა განლაგებული ნატურალური რიცხვების მიმდევრობაში ,რომ მათემატიკოსებს არ ჰქონდათ იმედი ისეთი ფორმულის პოვნის ,რომელიც ყველა მარტივ რიცხვეს მოგვცემდა. ამიტომ დაისახეს მარტივი მიზანი შეექმნათ ისეთი ფორმულა , რომელშიც n–ის ნატურალური მნიშვნელობისთვის მიიღებდნენ მარტივ რიცხვს.ერთ–ერთი პირველი იყო ფრანგი მათემატიკოსი პიერ ფერმა(1601–1665). მან მათემატიკოსებს შესთავაზა ორწევრი . n–ის ზოგი ერტი მნიშვნელობისთვის იგი, მართლაც მარტივ რიცხვს იძლეოდა, მაგრამ n=5 , მიიღება შედგენილი რიცხვიეს შენიშნა ლეონარდ ეილერმა. შემდეგ ამ რიცხვებს ფერმას რიცხვები უწოდეს. ეილერმა შეადგინა გამოსახულების ეს გამოსახულებაც საკმაოდ ბევრი მნიშვნელობისთვის გვაძლევს მარტივ რიცხვს, მაგრამ როცა n==41 შედგენილ რიცხვს.
შემდეგ ასეთი ფორმულის შექმნის ცდას თავი მიანებეს. დღემდე არ არის გარკვეული ნატურალურ რიცხვების მიმდევრობაში მარტივ რიცხვთა განაწილების საკითხი.იგი არავითარ კანონზომიერებას არ ექვემდებარება. ნატურალურ რიცხვთა მიმდევრობაში არის ადგილი სადაც მარტივი რიცხვები ხშირად გვხვდება, მაგრამ არის ადგილები, სადაც ასეთი რიცხვები ძალზე იშვიათია.
1952 წ რუსმა მათემატიკოსმა პაფნუტი ჩებიშევმა დაამტკიცა ფრანგი მათემატიკოსის ჟოზეფ ლუი ფრანსუა ბერტრანის (1822–1900) ვარაუდი, რომ ნებისმიერი, ერთზე მეტი ნატურალური n რიცხვისთვის –n და 2n რიცხვებს შორის ყოველთვის არას მარტივი რიცხვი.
ასერომ , მარტივი რიცხვების შესახებ მრავალი საკითხი დღემდე ბურუსითაა მოცული.
ნაშრომი მოიძია : ბოკერია თეკლამ.
900900=2*2*3*3*5*5*7*11*13. ამ რიცხვის მარტივ მამარავლებად სხვა დაშლა არ არსებობს.
საზოგადოდ ,ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი შეიძლება ჩავწეროთ მარტივი რიცხვების ნამრავლის სახით. ამასთან ეს წარმოდგენა ერთადერთია. ამ დებულებას , მისი განსაკუთრებული მნიშვნელობის გამო. არითმეტიკის ძირითადი კანონი ეწოდება.
ჯერ კიდევ დიდი ხნის წინათ ცნობილი იყო , რომ მარტიხი რიცხვების რაოდენობა უსასრულოა, ძველმა ბერძენმა მათემატიკოსმა ევკლიდემ(ჩვ.წ–მდე III)ს. თავის ,,საწყისებში დაამტკიცა ,რომ არ არსებობს უდიდესი მარტივი რიცხვი. მას შემდეგ მრავალი მეცნიერი იკვლევდა ამ რიცხვებებს, მაგრამ მათ შესახებ ბევრი რამ დღესაც არ არის ცნობილი.
მარტივი რიცხვები ისე უცნაურადაა განლაგებული ნატურალური რიცხვების მიმდევრობაში ,რომ მათემატიკოსებს არ ჰქონდათ იმედი ისეთი ფორმულის პოვნის ,რომელიც ყველა მარტივ რიცხვეს მოგვცემდა. ამიტომ დაისახეს მარტივი მიზანი შეექმნათ ისეთი ფორმულა , რომელშიც n–ის ნატურალური მნიშვნელობისთვის მიიღებდნენ მარტივ რიცხვს.ერთ–ერთი პირველი იყო ფრანგი მათემატიკოსი პიერ ფერმა(1601–1665). მან მათემატიკოსებს შესთავაზა ორწევრი . n–ის ზოგი ერტი მნიშვნელობისთვის იგი, მართლაც მარტივ რიცხვს იძლეოდა, მაგრამ n=5 , მიიღება შედგენილი რიცხვიეს შენიშნა ლეონარდ ეილერმა. შემდეგ ამ რიცხვებს ფერმას რიცხვები უწოდეს. ეილერმა შეადგინა გამოსახულების ეს გამოსახულებაც საკმაოდ ბევრი მნიშვნელობისთვის გვაძლევს მარტივ რიცხვს, მაგრამ როცა n==41 შედგენილ რიცხვს.
შემდეგ ასეთი ფორმულის შექმნის ცდას თავი მიანებეს. დღემდე არ არის გარკვეული ნატურალურ რიცხვების მიმდევრობაში მარტივ რიცხვთა განაწილების საკითხი.იგი არავითარ კანონზომიერებას არ ექვემდებარება. ნატურალურ რიცხვთა მიმდევრობაში არის ადგილი სადაც მარტივი რიცხვები ხშირად გვხვდება, მაგრამ არის ადგილები, სადაც ასეთი რიცხვები ძალზე იშვიათია.
1952 წ რუსმა მათემატიკოსმა პაფნუტი ჩებიშევმა დაამტკიცა ფრანგი მათემატიკოსის ჟოზეფ ლუი ფრანსუა ბერტრანის (1822–1900) ვარაუდი, რომ ნებისმიერი, ერთზე მეტი ნატურალური n რიცხვისთვის –n და 2n რიცხვებს შორის ყოველთვის არას მარტივი რიცხვი.
ასერომ , მარტივი რიცხვების შესახებ მრავალი საკითხი დღემდე ბურუსითაა მოცული.
ნაშრომი მოიძია : ბოკერია თეკლამ.
საკვანძო რიცხვები.
თვლის ნებისმიერ სისტემაში ესა თუ ის სიმბოლო (იეროგლიფი, ნახატი, ნიშანი ან სიტყვა) გარკვეულ რიცხვს აღნიშნავს. ამ რიცხვებს საკვანძო რიცხვები ეწოდება. ყველა სხვა რიცხვი მიიღება საკვანძო რიცხვებზე მოქმედების შედეგად.
თვლის სისტემები ერთმანეთისაგან განსხვავდება საკვანძო რიცხვების შერჩევით და დანარჩენი რიცხვების შექმნის ხერხებით. მაგალითად, ძველი ეგვიპტელების ნუმერაციაში საკვანზო რიცხვებია: 1;10;100;1000;10 000;100 000 და 1 000 000.ბაბილონელებისათვის საკვანძო რიცხვებია: 1;10;60; ძველი რომაელებისათვის –1;5;10;50;100;500;1 000; ძველი ბერძნებისათვის– 1;5;10;100;1 000;10 000 და ა.შ.
ნაშრომი მოიძია: ფესვიანიძე ელენემ და ბაშალეიშვილი ლევანმა.
თვლის სისტემები ერთმანეთისაგან განსხვავდება საკვანძო რიცხვების შერჩევით და დანარჩენი რიცხვების შექმნის ხერხებით. მაგალითად, ძველი ეგვიპტელების ნუმერაციაში საკვანზო რიცხვებია: 1;10;100;1000;10 000;100 000 და 1 000 000.ბაბილონელებისათვის საკვანძო რიცხვებია: 1;10;60; ძველი რომაელებისათვის –1;5;10;50;100;500;1 000; ძველი ბერძნებისათვის– 1;5;10;100;1 000;10 000 და ა.შ.
ნაშრომი მოიძია: ფესვიანიძე ელენემ და ბაშალეიშვილი ლევანმა.
მარტივი და შედგენილი რიცხვები.
ნატურალურ რიცხვს ეწოდება მარტივი, თუ მას მხოლოდ ორი გამყოფი( თავისი თავი და ერთი) აქვს,ხოლო შედგენილი , თუ ორზე მეტი გამყოფი აქვს.
n ნატურალური რიცხვის ჯერადი ეწოდება ისეთ m ნატურალურ რიცხვს, რომელიც n–ზე იყოფა უნაშთოდ.
ბერძენმა მეცნიერმა ,,ერატოსთენემ'' რომელიც ცხოვრობდა 23 საუკუნის წინ, შეადგინა მარტივ რიცხვთა ცხრილი, ეგრეთ წოდებული ერატოსთენეს საცერი. იგი საშუალებას იძლევა გავაცალკავოთ ერთმანეთისგან მარტივი და შედგენილი რიცხვები.
ბერძენი მეცნიერის ერატოსთენეს მეთოდით ვიპოვოთ მარტივ რიცხვთა ცხრილი 1–იდან 1000–მდე. ამისათვის ამოვწეროთ რიცხვები 1 –დან 1000 –მდე, 1 ამოვსალოთ რად გან არც მარტივია არც შედგენილი. შემდეგ მოდის 2 ის მარტივის ჩავსვათ რგოლში. შემდეგ ამოვშალოთ ყველა ორის ჯერადი რიცხვი. . შემდეგ მოდის 3 ისიც მარტივია , ჩავსვათ რგოლში , სემდეგ ამოვშალოთ 3–ის ჯერადი ყველა რიცხვი . მერე მოდის 5 ისიც მარტივია და ასე შემდეგ ბოლოს დაგვრჩება რგოლში ჩასმოლი მარტივი რიცხვები. ამ ცხრილს ეწოდება ერატოსთენეს ცხრილი. ბერძენი სწავლული თაფლის სანთლის დაფაზე აკეთებდა ამას , ის წაშლის ნაცვლად ჩხირით ჩხვლეტდა დაფას ,აქედან ეწოდა საცერი.
მარტიცი რიცხვები ის აგურებია ,რომელთა მეშვეობითაც , გამრავლების გამოყენებით, შეიძლება ავაშენოთ ყველა დანარჩენი რიცხვი.
ორ ნატურალურ რიცხვს ეწოდება ურთიერთ მარტივი თუ მათი უდიდესი საერთო გამყოფი 1–ის ტოლია.
ნატურალური რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ეწოდება მათ საერთო გამყოფებს შორის უდიდესს.
ნატურალურ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი ეწოდება მათ საერთო ჯერადთა შორის უმცირესს.
ნაშრომი მოიძია : ბიწაძე ანამ და ხეჩუმაშვილი ბექამ.
n ნატურალური რიცხვის ჯერადი ეწოდება ისეთ m ნატურალურ რიცხვს, რომელიც n–ზე იყოფა უნაშთოდ.
ბერძენმა მეცნიერმა ,,ერატოსთენემ'' რომელიც ცხოვრობდა 23 საუკუნის წინ, შეადგინა მარტივ რიცხვთა ცხრილი, ეგრეთ წოდებული ერატოსთენეს საცერი. იგი საშუალებას იძლევა გავაცალკავოთ ერთმანეთისგან მარტივი და შედგენილი რიცხვები.
ბერძენი მეცნიერის ერატოსთენეს მეთოდით ვიპოვოთ მარტივ რიცხვთა ცხრილი 1–იდან 1000–მდე. ამისათვის ამოვწეროთ რიცხვები 1 –დან 1000 –მდე, 1 ამოვსალოთ რად გან არც მარტივია არც შედგენილი. შემდეგ მოდის 2 ის მარტივის ჩავსვათ რგოლში. შემდეგ ამოვშალოთ ყველა ორის ჯერადი რიცხვი. . შემდეგ მოდის 3 ისიც მარტივია , ჩავსვათ რგოლში , სემდეგ ამოვშალოთ 3–ის ჯერადი ყველა რიცხვი . მერე მოდის 5 ისიც მარტივია და ასე შემდეგ ბოლოს დაგვრჩება რგოლში ჩასმოლი მარტივი რიცხვები. ამ ცხრილს ეწოდება ერატოსთენეს ცხრილი. ბერძენი სწავლული თაფლის სანთლის დაფაზე აკეთებდა ამას , ის წაშლის ნაცვლად ჩხირით ჩხვლეტდა დაფას ,აქედან ეწოდა საცერი.
მარტიცი რიცხვები ის აგურებია ,რომელთა მეშვეობითაც , გამრავლების გამოყენებით, შეიძლება ავაშენოთ ყველა დანარჩენი რიცხვი.
ორ ნატურალურ რიცხვს ეწოდება ურთიერთ მარტივი თუ მათი უდიდესი საერთო გამყოფი 1–ის ტოლია.
ნატურალური რიცხვების უდიდესი საერთო გამყოფი ეწოდება მათ საერთო გამყოფებს შორის უდიდესს.
ნატურალურ რიცხვების უმცირესი საერთო ჯერადი ეწოდება მათ საერთო ჯერადთა შორის უმცირესს.
ნაშრომი მოიძია : ბიწაძე ანამ და ხეჩუმაშვილი ბექამ.
Saturday, April 24, 2010
სასწავლო პროექტის გეგმა
1. პროექტის სახელი.
ეს უცნაური რიცხვები.
2. პროქტის მოკლე აღწერა 1–2 წინადადებით.
საინტერესო რამ მარტივ და შედგენილ რიცხვებზე,არითმეტიკის ძირითადი კანონი, სრულყოფილი და მეგობრული რიცხვები,საკვანძო რიცხვები.
3. პროექტის სრული აღწერა.
ნატურალური , მარტივი და შედგენილი რიცხვების, განმარტება.გამყოფის პოვნე. რიცხვის დაშლა მარტივ მამრავლებად,უსჯ და უსგ პოვნის წესი, ურთიერთ მარტივი რიცხვის განმარტება, ჯერადის განმარტება,უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა, ერატოსთენეს საცერის მნიშვნელობა,გამოგონების ისტორია, ,არითმეტიკის ძირითადი კანონის არსი,უდიდესი მარტივი რიცხვის პოვნისფორმულა, სრულყოფილი და მეგობრული რიცხვების განმარტება, შექმნის ისტორია,გამოთვლის წესი, საკვანძო რიცხვების შექმნის ისტორია .
4. მონაწილეთა ასაკი.
12–13 წელი.
5. ვადები/ ხანგრძლივობა.
1– კვირა
6. პროექტის შესაძლო აქტივობები კლასში.
მასალის მოძიება სხვადასხვა ლიტერატურიდან,ენციკლოპედიებიდან,ინტერნეტის საშუალებით,ნახატების სურათების მიხედვით ფოტო ალბომის შექმნა. პრეზენტაცია.
7. მოსალოდნელი შედეგები/ პროდუქტები ,რაც შეიძლება შეიქმნას.
შექმნან ვებ–გვერდი. მათ გამოუმუშავდებათ კვლევა –ძიების და დამატებით ლიტერატურაზე მუშაობის უნარი.მოსწავლეების მიერ მოტანილი ინფორმაციის განხილვა და ბლოგზე დადება.
8. სარგებელი სხვებისთვის.
მოსწავლეები გაიგებენ , როგორ შეიქმნა მარტივ რიცხვთა პოვნის ცხრილი.არითმეტიკის ძირითად კანონი,როგორ აღმოაჩინეს სრულყოფილი და მეგობრული რიცხვები. საკვანძო რიცხვები.
9. სამუშაო ენა.
ქართული.
10. მონაწილეები სხვა სკოლებიდან.
მონაწილეები სხვა სკოლებიდან არ გვყავს.
11. საგნებთან/ საგნობრივ ჯგუფებთან/ ეროვნულ სასწავლო გეგმასთან კავშირი.
ქართულთან–მათემატიკოსების ბიოგრაფიებისა და ნაშრომების გაცნობა,მსჯელობის უნარის განვითარება.
ისტორიასთან– მეცნიერევის წვლილი მათემატიკის განვითარებაში.
უცხო ენასთან – ინფორმაციის მოძიება სხვადასხვა ენაზე და მათი თარგმანი.
საინფორმაციო ტექნოლოგიები– ინფორმაციის მოპოვება, დამუშავება, გაცვლა, ისტ–ის საშუალებების მოხმარების დემონსტრირება.
ამ პროექტით მიიღწევა ეროვნულ სასწავლო გეგმით გათვალისწინებული მისაღწევი შედეგები. მათ:VII .14 ,VII.16 –მოიპოვებს დასმულ ამოცანის ამოსახსნელად საჭირო თვისობრივ და რაოდენობრივ მონაცემებს,აკეთებს ამ მონაცემთა ინტერპრეტაციას და ანალიზს ამოცანის კონტექსტის გათვალისწინებით.
12. პროექტის ფასილიტატორი.
ნატა ტრაპაიძე
13. ფასილიტატორის ელ.ფოსტა.
natatrapaidze@gmail.com
14. პროექტის ფორუმი.
ფორუმი არ გვაქვს.
15. პროექტის ვებ–გვერდი /ბლოგი.
http://natatrapaidze.blogspot.com/
ეს უცნაური რიცხვები.
2. პროქტის მოკლე აღწერა 1–2 წინადადებით.
საინტერესო რამ მარტივ და შედგენილ რიცხვებზე,არითმეტიკის ძირითადი კანონი, სრულყოფილი და მეგობრული რიცხვები,საკვანძო რიცხვები.
3. პროექტის სრული აღწერა.
ნატურალური , მარტივი და შედგენილი რიცხვების, განმარტება.გამყოფის პოვნე. რიცხვის დაშლა მარტივ მამრავლებად,უსჯ და უსგ პოვნის წესი, ურთიერთ მარტივი რიცხვის განმარტება, ჯერადის განმარტება,უმცირესი საერთო ჯერადის პოვნა, ერატოსთენეს საცერის მნიშვნელობა,გამოგონების ისტორია, ,არითმეტიკის ძირითადი კანონის არსი,უდიდესი მარტივი რიცხვის პოვნისფორმულა, სრულყოფილი და მეგობრული რიცხვების განმარტება, შექმნის ისტორია,გამოთვლის წესი, საკვანძო რიცხვების შექმნის ისტორია .
4. მონაწილეთა ასაკი.
12–13 წელი.
5. ვადები/ ხანგრძლივობა.
1– კვირა
6. პროექტის შესაძლო აქტივობები კლასში.
მასალის მოძიება სხვადასხვა ლიტერატურიდან,ენციკლოპედიებიდან,ინტერნეტის საშუალებით,ნახატების სურათების მიხედვით ფოტო ალბომის შექმნა. პრეზენტაცია.
7. მოსალოდნელი შედეგები/ პროდუქტები ,რაც შეიძლება შეიქმნას.
შექმნან ვებ–გვერდი. მათ გამოუმუშავდებათ კვლევა –ძიების და დამატებით ლიტერატურაზე მუშაობის უნარი.მოსწავლეების მიერ მოტანილი ინფორმაციის განხილვა და ბლოგზე დადება.
8. სარგებელი სხვებისთვის.
მოსწავლეები გაიგებენ , როგორ შეიქმნა მარტივ რიცხვთა პოვნის ცხრილი.არითმეტიკის ძირითად კანონი,როგორ აღმოაჩინეს სრულყოფილი და მეგობრული რიცხვები. საკვანძო რიცხვები.
9. სამუშაო ენა.
ქართული.
10. მონაწილეები სხვა სკოლებიდან.
მონაწილეები სხვა სკოლებიდან არ გვყავს.
11. საგნებთან/ საგნობრივ ჯგუფებთან/ ეროვნულ სასწავლო გეგმასთან კავშირი.
ქართულთან–მათემატიკოსების ბიოგრაფიებისა და ნაშრომების გაცნობა,მსჯელობის უნარის განვითარება.
ისტორიასთან– მეცნიერევის წვლილი მათემატიკის განვითარებაში.
უცხო ენასთან – ინფორმაციის მოძიება სხვადასხვა ენაზე და მათი თარგმანი.
საინფორმაციო ტექნოლოგიები– ინფორმაციის მოპოვება, დამუშავება, გაცვლა, ისტ–ის საშუალებების მოხმარების დემონსტრირება.
ამ პროექტით მიიღწევა ეროვნულ სასწავლო გეგმით გათვალისწინებული მისაღწევი შედეგები. მათ:VII .14 ,VII.16 –მოიპოვებს დასმულ ამოცანის ამოსახსნელად საჭირო თვისობრივ და რაოდენობრივ მონაცემებს,აკეთებს ამ მონაცემთა ინტერპრეტაციას და ანალიზს ამოცანის კონტექსტის გათვალისწინებით.
12. პროექტის ფასილიტატორი.
ნატა ტრაპაიძე
13. ფასილიტატორის ელ.ფოსტა.
natatrapaidze@gmail.com
14. პროექტის ფორუმი.
ფორუმი არ გვაქვს.
15. პროექტის ვებ–გვერდი /ბლოგი.
http://natatrapaidze.blogspot.com/
Subscribe to:
Posts (Atom)